Vacue nostomanie
beltrami

L'intuizionismo è un approccio alla matematica in cui ogni oggetto matematico è considerato un prodotto dell'attività costruttiva della mente umana. Per l'intuizionismo, l'esistenza di un ente è equivalente alla possibilità della sua costruzione. Prima della nascita alla fine del 1800 della moderna Teoria degli insiemi, ad opera soprattutto di Cantor, era diffusa l’idea della matematica come fondata sull’intuizione. Tuttavia il vero iniziatore della scuola intuizionistica è stato il matematico olandese Luitzen Brouwer. Secondo Brouwer le antinomie della matematica hanno origine puramente verbale che non intaccano il pensiero matematico reale: la matematica viene prima del linguaggio e della logica. Linguaggio e logica sono semplici strumenti di comunicazione. Brouwer negava ogni tipo di priorità della logica sulla strada della conoscenza matematica e riaffermava il carattere puramente intuitivo dei concetti matematici. La matematica si fonda sull’intuizione, facoltà capace di isolare nel continuo spazio-temporale. Si considerano "esistenti" solo gli oggetti matematici costruibili, cioè che possono essere costruiti con un numero finito di passi: gli enti primitivi, da cui iniziare la costruzione di tutta la matematica, erano dettati dall'intuizione. Tutti gli altri non hanno senso alcuno, per cui è perfettamente inutile speculare su di essi. La concezione brouweriana, però, dell'intuizione non è un ritorno alla filosofia kantiana dello spazio e del tempo. Egli riconosce, infatti, come intuizione primaria quella del tempo (che genera i numeri naturali), ma in alcun modo quella dello spazio. Brouwer, contrastando la linea logicista, va inserito comunque in quella corrente, che va da Kronecker a Poincaré, che cerca di recuperare l'identità della matematica come scienza indipendente dalla logica: la matematica ha un contenuto proprio che le proviene direttamente e senza mediazione dall'intuizione ed è come tale indipendente tanto dall'esperienza sensoriale quanto dalla strutturazione logica. In questo senso la logica non è altro che una veste che per scopi di comunicazione è imposta a contenuti che ne sono del tutto indipendenti. Per Brouwer la stessa capacità di esprimersi in un linguaggio è una dimostrazione dell'innata capacità di percepire la ripetizione di un atto, l’individuazione della diversità di più cose nel tempo, cioè l'intuizione del discreto, della quantità, del numero. I logicisti, e ancor più i formalisti, per Brouwer, sostengono cose letteralmente senza senso.
Inoltre respingono il principio del terzo escluso: esso verrebbe, infatti, a significare che per ogni possibile costruzione (problema) essa è stata effettuata A o si è dimostrato che è impossibile ¬A. Un’affermazione di onniscienza francamente inaccettabile. Eliminando il principio del terzo escluso si utilizza una delle più potenti forme di dimostrazione, già utilizzata da Euclide: la dimostrazione per assurdo. Conseguentemente Brouwer e tutta la scuola intuizionistica rifiutano in modo categorico tutti i metodi non costruttivi, procedendo alla costruzione di una matematica alternativa e indipendente. B. Boyer riferisce che Brouwer:
"[…] CHIEDEVA AI FORMALISTI SE FOSSE VERO O FALSO CHE “LA SUCCESSIONE 123456789 COMPARE IN QUALCHE PUNTO DELLA RAPPRESENTAZIONE DECIMALE DI ”. POICHÉ NON ESISTE NESSUN METODO PER DECIDERE IN MERITO, NON È POSSIBILE APPLICARE QUI LA LEGGE DEL TERZO ESCLUSO E AFFERMARE CHE TALE PROPOSIZIONE È VERA O FALSA". UNA POSSIBILE OBIEZIONE AL RAGIONAMENTO CON CUI BROUWER CONFUTA LA VALIDITÀ UNIVERSALE DEL PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO POTREBBE ESSERE LA SEGUENTE: COME SI FA A ESCLUDERE A PRIORI CHE NON ESISTE UN METODO DI CARATTERE ALGEBRICO O GEOMETRICO, DIVERSO DAL BRUTALE METODO DELLA COSTRUZIONE-RICERCA, CHE DIMOSTRI CHE LA SUCCESSIONE DI CIFRE 123456789 È NECESSARIAMENTE PRESENTE (O NECESSARIAMENTE ASSENTE) NELLA RAPPRESENTAZIONE DECIMALE DI ? E SE SI DIMOSTRASSE, AD ESEMPIO, CHE LA CIFRA NOVE NON PUÒ COMPARIRE DOPO LA SUCCESSIONE 12345678? UN'ALTRA OBIEZIONE PERTINENTE POTREBBE ESSERE QUELLA DI SEGUITO. BROUWER DICE DI AVER DIMOSTRATO CHE: IL PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO NON È UNIVERSALMENTE VALIDO. LA SUA DIMOSTRAZIONE SAREBBE LA SEGUENTE: I CASI SONO DUE: A) IL PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO È UNIVERSALMENTE VALIDO; B) IL PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO NON È UNIVERSALMENTE VALIDO. SE PER ASSURDO FOSSE VERA A) SI DOVREBBE POTER DECIDERE SE LA SUCCESSIONE 123456789 COMPARE NELLA RAPPRESENTAZIONE DECIMALE DI . POICHÉ QUESTO NON È POSSIBILE (PER BROUWER) A) DEVE ESSERE FALSA. ALLORA, PER IL PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO SEGUE CHE DEVE ESSERE VERA B), CIOÈ IL PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO NON È UNIVERSALMENTE VALIDO. UN COROLLARIO IMMEDIATO DEL PRECEDENTE RAGIONAMENTO È CHE LE TESI DIMOSTRATE UTILIZZANDO IL PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO NON POSSONO ESSERE ACCETTATE. DA QUESTI DUE RAGIONAMENTI SEGUE CHE LA TESI DEL PRIMO NON PUÒ ESSERE ACCETTATA, CIOÈ CHE LA TESI CHE IL PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO NON È UNIVERSALMENTE VALIDO NON PUÒ ESSERE ACCETTATA.”

